Teorema del residuo y del factor

Teorema del residuo y del factor

Para hacer comprobaciones sobre lo que se verá en éste tema se puede usar nuestra calculadora de división sintética. Si dividimos el polinomio 2x³ - 4x² - 3x + 2 entre el polinomio x - 3

encontramos que el cociente es 2x² + 2x + 3 y que el residuo es 11. Por otra parte, si evaluamos numéricamente la función polinomial ƒ(x) correspondiente al polinomio 2x³ - 4x² - 3x + 2 para el valor de x = 3, se obtiene

ƒ(x) = 2x³ - 4x² - 3x + 2
ƒ(3) = 2(3)³ - 4(3)² - 3(3) + 2
ƒ(3) = 2(27) - 4(9) - 9 + 2
ƒ(3) = 54 - 36 - 9 + 2
ƒ(3) = 11

No es ninguna casualidad que el residuo de la división anterior entre x - 3 y la evaluación numérica para ƒ(3) ambas den como resultado respectivamente residuo y valor numérico de 11. La explicación de esta coincidencia se encuentra en el Teorema del residuo. 

 

Teorema del residuo

Si se divide la función polinomial ƒ(x) entre el binomio x - a donde a es un número real, el residuo es igual a ƒ(a). 

 

El teorema del residuo indica que el resultado de evaluar numéricamente una función polinomial para un valor a es igual al residuo de dividir el polinomio entre x - a. Un ejemplo de esto se ilustra en la parte de arriba. Se recomienda que el lector realice otras comprobaciones. Una conclusión muy importante del teorema del residuo es se puede evaluar numéricamente una función polinomial usando la división sintética.

A partir de lo anterior, si ƒ(a) = 0, entonces x - a es un factor del polinomio porque el residuo es cero. Cuando se encuentra un valor de x para el cual ƒ(x) = 0 se ha encontrado una raiz del polinomio, en el supuesto anterior, a es una raiz del polinomio. 

Teorema del factor

Si a es una raiz de ƒ(x), entonces x - a es un factor del polinomio, donde a es un número real. 

 

Aqui podemos observar la importancia de conocer el valor del residuo, ya que si éste es igual a cero, nos va a indicar que hemos encontrado un factor del polinomio y con él, una raiz del polinomio (una solución a la ecuación polinomial ƒ(x) = 0).